Le Retournement du Tore
9 décembre 2004
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Une retombée de ces travaux : le retournement trivial du tore
S'il s'était avéré si compliqué de retourner une sphère, par contre, partant de là, il est extrêmement facile de retourner un tore. On peut même dire que c'est à la portée d'un enfant de dix ans. Celui-ci n'est après tout d'une sphère munie d'une anse. On procède comme cela fut fait pour permuter les deux points cuspidaux d'une Crosscap, c'est à dire qu'on retourne la sphère sans se poser de questions. L'anse se retrouve alors à l'intérieur. Disons que ce "pont", se transforme en "passage souterrain". Or, tous les ingénieurs des travaux publics le savent, tout passage souterrain, dans un réseau routier, peut être transformé en point à l'aide d'une homotopie régulière.
Quand la sphère est retournée il suffit alors de glisser un doigt dans ce passage et de tire un coup sec. Voir les dessins ci-après.
Le retournement trivial du tore
Bien que cela se voie assez mal sur ce dessin on a fait figurer en a un des cercles générateurs du tore, ceux-ci constituant une des deux familles de cercles permettant de le cartographier sans créer de singularité de maillage ( voir le Topologicon ). Lorsque l'anse a été concentrée dans une région d'une sphère ansée b la courbe est toujours visible. Quand la sphère ansée a été retournée, en c, et que l'opérateur glisse son doigt dans le passage, cette courbe entoure son doigt. Quand il "extrait" l'anse, en d, on voit ( image finale e, celle du tore retourné ) que ce cercle est devenu le .. cercle de gorge de la surface. Ainsi, quand on part d'un tore cartographié à l'aide d'un double réseau de cercles méridiens et de cercles parallèles ( le cercle de gorge appartenant à cette seconde famille ) on voit que l'opération de retournement échange ces deux familles. Cela a quelque chose de magique et j'avoue que cela dépasse mon entendement personnel. Chacun doit apprendre à connaître ses limites. Je pense personnellement qu'il il y a certaines démarches mentales où le cerveau devrait être équipé d'un fusible.
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