Peut-on penser comme un crabe ?

27 février 2009

Nous nous exprimons, entre autre, à l'aide d'un langage et celui-ci est censé être le reflet de notre structure logique. Dans notre langage nous avons créé une structure divalente, avec le OUI et le NON, le VRAI et le FAUX, qui débouchent sur la " pensée aristotélicienne " selon laquelle tout énoncé ( un logicien parlera de " proposition " ) ne peut être que VRAI ou FAUX. C'est ce qu'on appelle le principe du tiers exclu.

Malheureusement, l'expérience ne suit pas la théorie et notre phraséologie abonde de propositions indécidables, qui ne sont ni vraies, ni fausses, comme

Je mens

Depuis un bon siècle, les logiciens ont déployé des trésors d'imagination pour essayer de construire des logiques non-divalentes. Donnons un exemple de logique trivalente, la logique dite floue, dont les valeurs de vérité sont

Vrai      Indéterminé      Faux

une logique qui a démontré son caractère opérationnel dans les automatismes, les contrôles de processus ( dans l'ingeenerie )

Des tentatives de construction d'une logique tétravalente ont également été faites, la plus classique ayant pour valeurs de vérité

Une tentative d'extension qui ne s'est pas révélée féconde.

Dans son ouvrage :

Pour contacter directement l'auteur :

Denis Seco de Lucena nous invite à une étrange exploration, dont le lecteur risque de ne pas sortir indemne. Partons d'un examen du langage, ce qui est la démarche de tout logicien. L'auteur propose d'introduire ce qu'il appelle le concept de transversalité. Dans cette optique les propositions, quelles qu'elles soient, seraient susceptibles d'une déclinaison sous quatre formes, symétriques deux à deux, constituées de " deux couples symétriques ". Des exemples très nombreux existent dans le langage, mais la " quatrième proposition " est parfois difficile à formuler, voire ne correspond à aucun qualificatif existant dans le langage.

Donnons d'abord des exemples où cette " transversalité " s'exprime de manière claire. Prenons par exemple le concept de mouvement. Il y a ainsi quatre façon de " se mouvoir ":

On voit tout de suite se dégager les couples, avec leurs symétries. Reculer c'est le contraire d'avancer, et vice-versa. Bouger, c'est le contraire de Stagner, et vice-versa.

Si on se réfère à la topologie on introduira quatre adverbes ou locutions adverbiales :

Si on se réfère à des couleurs :

En jouant sur le temps :

On voit que se dessinent quatre façon de " dire ", qui sont différentes de la logique tétravalente " classique ", telle qu'évoquée plus haut. La symétrie des deux dernières propositions est différente. L'auteur propose de dire que ces couples de propositions, de qualificatifs sont " transverses ".

La façon dont nous présentons les choses ne correspond pas à celle qu'utilise l'auteur dans son ouvrage, dont je vous conseille la lecture. Mais d'emblée, vous vous direz " qu'est-ce qui se cache là-dessous ? ". Cette question vous emmènera fort loin.. L'auteur, scientifique, a trouvé son point de départ dans la lettre que j'ai reçue en 1992 de correspondants mystérieux s'intitulant " Ummites ", lettre qui m'avait été adressée de Ryad, Arabie Saoudite. Pour ceux qui ne connaissent pas cette histoire, il est bon d'en rappeler le contexte. Dans la masse des documents ramenés d'Espagne depuis le milieu des années soixante-dix, les auteurs de ces textes insistaient beaucoup sur la nécessité d'abandonner la logique aristotélicienne, et de passer à une logique tétravalente.

Pendant des années, je me suis escrimé en menant différentes tentatives. En 1992 je disposais d'un Mac Intosh de la première génération, tournant en 2 Mhz, et évidemment totalement dépourvu de modem ou d'un quelconque moyen de communication avec l'extérieur. Dans cet ordinateur, je consignais des réflexions qui n'étaient connues que de moi seul. Interpellé par le théorème de Goedel, je me suis rappelé que celui-ci était basé sur l'arithmétique (la manipulation des entiers naturels), axiomatisée à la fin du siècle dernier par le mathématicien Peano. Le mathématicien Gauss inventa en son temps ce qu'on appelle maintenant " les entiers de Gauss ", c'est à dire des complexes à valeurs entières.

J'ai remarqué qu'on considérait classiquement ces entiers de Gauss comme des couples d'entiers naturels ( a , b ) et que nulle axiomatisation n'avait été tentée pour les construire, autrement qu'en décidant de ses donner " deux entiers ".

Quelques jours après avoir mis ces quelques réflexions dans mon disque dur j'ai eu la surprise de recevoir une lettre qui m'était adressé d'Arabie Saoudite et qui mentionnait ces mêmes réflexions.

Le contenu de cette lettre

Il se trouve que Denis, qui est scientifique, trouva dans cette lettre étrange le point de départ d'une démarche de dix années dont il a rendu compte dans le livre qu'il vient de publier. Etant donné le caractère exotique, pour ne pas dire sulfureux de cette source, on comprendra pourquoi il a décidé de le publier sous un pseudonyme.

Je ne sais pas si vous vous souvenez d'un livre de Jules Vernes : Voyage au centre de la terre, où les héros jouent avec un message mystérieux, laissé par Aarne Saknudsen. En combinant ses éléments ils finissent par découvrir le chemin à suivre pour parvenir au centre de la Terre. Attendez vous donc, dans le livre de Denis, à quelque chose de similaire.

Il n'est pas le premier à avoir tenté l'aventure, mais jusqu'à présent toutes les tentatives s'avérèrent infécondes, en dépit d'apparences parfois séduisantes. Je pense à l'essai du Canadien Norman Mohlant dans le site ummo.science.Un mathématicien dirait " qu'on peut créer des algèbres à l'infini ", et jouer avec, comme on jouerait avec un assemblage de legos. Construire des éléments d'un nouveau lego est une autre paire de manches.

Où se situe le " plus ", dans le travail de Denis ?

Celui-ci commence par retrouver, dans la piste tracée dans le lettre de Ryad, le chemin qui conduit à des objets mathématiques inventés en 1843 par le mathématicien Irlandais Hamilton : les quaternions. On les trouve le plus souvent dans les ouvrages sous forme d'une sorte d'extension des complexes :

Q = a + b i + c j + d k

avec

i² = - 1

j² = - 1

k² = - 1

i j = k

i j ² = k j

i j = - j i

( anticommutativité )

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

Les produit sont anticommutatifs

Quand Hamilton inventa ces quaternions, et découvrit l'immensité de leurs propriétés, il fut tellement séduit par sa découverte qu'il se dit :

- Tout cela doit sûrement avoir une application en physique, mais allez donc savoir laquelle ?

Il ne pouvait évidemment pas imaginer que ce lien serait établi avec l'avènement de la Mécanique Quantique. En effet, par exemple, les matrices de Pauli sont des quaternions.

L'auteur montre comment des considérations purement géométriques permettent, à partir du contenu de la lettre, de converger vers une construction géométrique des quaternions ( à travers un " plan complexe à deux faces orthogonales " ). Le livre s'intitule " le secret de la lettre de Ryad ". Ce secret se trouve ici abordé. Dans cette lettre il est question du célèbre théorème de Fermat, qui dit que l'équation à valeurs entières

aⁿ =bⁿ +cⁿ

n'a de solution que pour n inférieur ou égal à 2

Le mathématicien Lagrange est l'auteur d'un théorème similaire, que Fermat avait auparavant également formulé à titre de conjecture, à savoir que tout entier est la somme de quatre carrés.

N ( entier quelconque ) = a² + b² +c² +d²

Il faut inclure le zéro parmi ces entiers, de telle manière que :

3 = 1 ² + 1 ² +1² + 0²

Une démonstration postérieure à celle de Lagrange utilise les quaternions, avec une raisonnement par récurrence.

J'aimerais bien que Denis nous trouve la démonstration du théorème de Lagrange, en utilisant les quaternions, et la mette sur son site.

Soit un quaternion :

Q = ( a , b , c , d )

On définit son conjugué par :

conjugué de Q = Q( a , - b , - c , - d )

Denis énonce une conjecture selon laquelle le théorème de Fermat serait, sous la forme énoncée par celui-ci, un sous-produit d'une écriture quaternionique, selon laquelle l'équation :

( Q₁Q₁ )ⁿ = ( Q₂Q₂ )ⁿ + ( Q₃Q₃ )ⁿ

où les quaternions ont des composantes entières, n'aurait de solution que pour n inférieur ou égal à 2.

27 février 2010 : Je remarque que ces deux énoncés sont équivalents, puisque le module d'un quaternion ( a , b , c , d ) est a ² + b ² +c² + d ² . C'est à dire un entier en vertu du théorème de Lagrange.

Cette parenthèse pourrait rebuter le lecteur lambda. Mais en fait, l'ensemble de l'ouvrage reste très accessible. Les multiples exemples de transversalité donnés constituent un jeu avec le langage très divertissant et stimulant et le lecteur pourra s'amuser à trouver d'autres exemples de ce genre. Les schémas géométriques sont aussi très lisibles..

Ce livre semble être la première brique d'une construction plus vaste, l'ouverture vers une pensée différente.

Pour commander le livre (18 euros port compris, 144 pages ):

http://quadrilogie.com

2 mars 2009 : Un lecteur, monsieur Christian Pedro, nous a fourni un pdf où se trouve la démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange.

Le théorème des quatre carrée de Lagrange

Autre remarque : le produit des modules de deux quaternions est égale au module du produit. Démonstration due au mathématicien Euler ( 1750 ).

( a₁ ² + a₂ ² + a₃ ² + a₄ ² ) x ( b ₁ ² + b ₂ ² + b ₃ ² + b ₄ ² ) =

( a₁ b ₁ - a₂ b ₂ - a₃ b ₃ - a₄ b ₄ )² + ( a₁ b ₂ + a₂ b ₁ + a₃ b ₄ - a₄ b ₃ )² + ( a₁ b ₃ - a₁ b ₄ + a₃ b ₁ - a₄ b ₃ )² + ( a₁ b ₄ + a₂ b ₃ - a₃ b ₂ + a₄ b ₁ )²

Ce qui veut dire que le module du produit de deux quaternions :

A = ( a₁ ,  a₂ ,  a₃ , a₄  )

B = ( b ₁ ,  b₂ ,  b₃ , b ₄  )

est celui du quaternion :

C = ( a₁ b ₁ - a₂ b ₂ - a₃ b ₃ - a₄ b ₄  , a₁ b ₂ + a₂ b ₁ + a₃ b ₄ - a₄ b ₃  , a₁ b ₃ - a₁ b ₄ + a₃ b ₁ - a₄ b ₃  , a₁ b ₄ + a₂ b ₃ - a₃ b ₂ + a₄ b ₁ )

Monsieur Pedro est sceptique sur le fait qu'une approche fondée sur les quaternions puisse déboucher sur une démonstration relativement simple ( par rapport à celle de Wiles, qui couvre des centaines de pages ! ) alors même que des milliers de mathématiciens se sont cassés les dents sur le problème.

Je suis sans avis. Mais je ferai quand même deux remarques.

On sait que les entiers naturels peuvent être écrits dans n'importe quelle base et en particulier que les nombres premiers conservent cette propriété, quelle que soit la base dans laquelle ils sont écrits. Donc autant prendre la base la plus simple : la base deux, avec ses deux éléments : 0 et 1

Le mathématicien italien Giuseppe Peano ( 1858 - 1932 ) a fournir les cinq axiomes servant de support à l'arithmétique des entiers naturels.

Le mathématicien italien Giuseppe Peano

Fondée sur ces cinq axiomes, l'arithmétique de Peano débouche sur une logique du premier ordre, laquelle n'échappe pas au théorème d'incomplétude de Gödel. Ce qui avait provoqué l'envoi de la lettre de Ryad avait été cette remarque que je m'étais faite, concernant les entiers de Gauss

z = a + i b

où a et b sont des entiers naturels.

Il m'avait semblé qu'il n'existait pas d'axiomatisation, propre à cette arithmétique des entiers de Gauss, qui me semblaient construits avec " deux fois larithmétique de Péano ", ce qui est différent. Dans cette optique ces entiers de Gauss, au lieu d'être " des points d'un quadrillage régulier " deviennent des couples de points ( a , b ) pris sur des droites segmentées. L'arithmétique des entiers de Gauss devient ainsi " deux fois l'arithmétique de Peano ".

Maintenant, je pose la question :

- Existe-t-il un ensemble d'axiomes définissant l'arithmétique des quaternions entiers ? Si c'est le cas, sur quelle logique devrait-on alors déboucher ? Cette logique-là serait-elle tétravalente ? Serait-elle au passage ... complète, ce qui signifierait qu'en dehors de ces quatres valeurs de vérité, il n'en existerait point de cinquième, c'est à dire de proposition indécidable n'entrant pas dans les quatre cas constituant le crible logique à quatre valeurs de vérité ?

Je ne saurais m'engager dans des discussions traitant de ces questions avec des lecteurs, étant fort occupé à composer un nouvel album consacré à la mécanique des fluides. Pour toute question de ce genre, s'adresser à l'auteur du livre, Denis.

Ceci étant, je montrerai dans cet album que pas plus tard que la fin des années cinquante ( quand j'étais étudiant à l'Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique de Paris ) certains concepts, qui sont aujourd'hui totalement intégrés au monde l'aéronautique, tant civile que militaire; étaient considérés par mes professeurs comme violant les lois de la physique.

Je citerai aussi la remarque d'un certain Couturier, présentement je crois diirecteur de l'Observatoire de Paris qui, à propos de ma théorie de l'annihilation des ondes de choc par les forces de Laplace m'avait déclaré en 1976 :

- C'est absurde. Ton onde de choc, il faut bien que tu la retrouves quelque part....

Les mathématiques, comme la physique, sont peut être susceptibles de faire sortir un nouveau lapin d'un chapeau à double fond, dont on croyait avoir exploré les contours de longue date.

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