Physique et Géométrie

2 novembre 2004

La physique mathématique dont un des pionniers fut le mathématicien Jean-Marie Souriau passe par la géométrie. Tout au long de cette démarche les grandeurs qui relèvent de la physique, comme l'énergie, la masse, l'impulsion, le spin, la charge électrique, deviennent des grandeurs de nature purement géométrique, grâce à un outil, la théorie des groupes. Quae faut-il pour s'aventurer dans cet univers, ou cette façon de percevoir l'univers ? Pas grand chose : savoir manipuler des matrices. Si ce sont des objets qui vous sont inconnus, faites l'effort de vous familiariser avec eux, le jeu en vaut la chandelle. Si "vous avez vu cela dans le temps", dépoussiérez vos connaissances, elles pourront vous emmener fort loin et répondre à des questions comme :

- Quelle est la véritable nature du spin des particules ?

- Qu'es-ce que l'antimatière ?

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Action coadjointe du groupe de Poincaré
sur son espace du moment

Attention : pour lecteurs fortement "orientés science", seulement. Ceci n'est pas de la vulgarisation scientifique

24 octobre 2004

La physique a toujours eu beaucoup partie liée avec la géométrie. Le mathématicien Jean-Marie Souriau est un des fondateur de la physique mathématique. Celle-ci passe par une géométrisation de la physique, très élégante. Tout est fondé sur des groupes, à coefficients réels, comme le groupe de Lorentz et le groupe de Poincaré qui sont ici représentés par des matrices à coefficients réels. Dans ce qui va suivre, tout part d'une unique matrice G qui est liée à la métrique de l'espace de Minkowski qui est celui de la relativité Restreinte. A l'aide de cette matrice on définit un premier groupe L , représenté par des matrices de format (4,4). Ce groupe agit sur l'espace-temps, constitué de points évènements. A partir de ces matrices et d'un "vecteur translation spatio-temporelle" C on fabrique un second groupe représenté par des matrices (5,5) qui agissent également sur l'espace-temps. Dans cet espace-temps on considèrera des "mouvements". Le concept de trajectoire est pauvre. Le mouvement d'une particule doit être associé à des grandeurs comme son énergie E, son impulsion p . Pour un physicien théoricien une particule qui soit un "point matériel" devrait aussi posséder un spin. Mais qu'est-ce qu'un tel objet? Un point matériel peut-il "tourner sur lui-même ?".

Souriau a introduit géométriquement ces grandeurs en partant uniquement des groupes. Tout cela est, je le concède, assez ardu. Un groupe "agit". Tout commence donc par le concept d'action. Le groupe agit sur les mouvement au sens où un élément du groupe de Poincaré transforme un mouvement en un autre mouvement, qui s'inscrit dans l'espace des mouvements, l'espace-temps. Un groupe "transporte". Le groupe d'Euclide contient par exemple les translations et les rotations dans un espace 3d. Il permet de transporter des points, ou des ensembles de points. Cette idée est assez intuitive. Quand il s'agit de l'espace temps, on y "transporte" des "mouvements". Considérons deux cendriers identiques, situés en deux emplacements différents d'une espace 3d. Il existe toujours un élément du groupe d'Euclide qui permette, au prix d'une translation et d'une rotation d'amener le premier cendrier sur le second. Grâce au groupe, si on connait la description d'un cendrier quelque part dans l'espace, on peut construire "tous les cendriers possibles", dans tous les endroits de l'espace et dans toutes les orientations possible.

Dans l'espace-temps, l'objet est un "mouvement". Les mouvements pris en charge par le groupe de Poincaré correspondent à ceux d'un "point matériel relativiste. De la même manière, grâce au groupe Si on connaît un de ces mouvements, on les connaît tous. Or une particule c'est un mouvement particulier du point matériel. On pourrait résumer cette façon de voir le chosess selon l'expression :

Dis-moi comment tu te meus, je te dirai quoi tu es

Souriau a montré que l'espace des mouvements devait être associé à un second espace, celui qu'il a appelé "l'espace des moments". Par "moment", Souriau entend les paramètres qui sont associés à une particule donnée. Quand cette particule est "observée" d'une certaine façon, c'est à dire décrite dans un système de coordonnées adéquat, trois quantités se dégagent :

E , p , s

L'énergie E, l'impulsion p et cet objet mystérieux qu'est le spin s . Ces objets apparaîssent alors en tant que grandeurs purement géométriques à travers l'action coadjointe du groupe sur son espace du moment.

Actuellement les astrophysiciens jouent avec un objet qu'ils appellent "l'énergie noire", seul nouvel ingrédient cosmique qui leur semble de nature à expliquer le phénomène de réaccélération cosmique, lié à des forces répulsives. Cette "énergie noire" est ... négative. On verra que l'approche présentée ici débouche également sur l'existence de points matériels d'énergie négative, en tant que simple conséquence des propriétés du groupe de Poincaré qui est à même d'engendrer des mouvement de ce type. Avant de passer à cela il serait nécessaire que le lecteur scientifique lise ce document et s'en imprègne. Sur le plan de la technique de calcul cette lecture ne requiert rien d'autre que de savoir manier des matrices. Il y a 15 ans c'était du niveau d'un terminale S, mais il paraît que les matrices ne sont plus enseignées à ce niveaus. Dommage, c'est un outil essentiel, mais cette suppression correspond sans doute à une "modernisation des programmes".

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Particules à énergie négative

25 octobre 2004

Dans l'astrophysique actuelle les théoriciens tendent à porter leur intérêt sur ce qu'il appellent une " énergie noire", négative, cause de la réaccélération cosmique telle qu'elle découle de l'observation des lointaines supernovae.

La théorie des groupes dynamiques de la physique ( groupe de Poincaré ) permet d'apporter des éclaircissements sur ce sujet épineux. Encore une fois il ne s'agit ici que d'éléments qui ne sont accessibles qu'à des scientifiques ou à des lecteurs fortement "orientés sciences".

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La charge électrique : un objet géométrique

9 novembre 2004

En mettant en jeu une invention du mathématicien Jean-Marie Souriau : l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments on a rappelé comment celui-ci avait fait émerger l'énergie, l'impulsion et le spin en tant qu'objets purement géométriques. Dans ce qui va suivre on reprend la façon dont il a procédé pour faire apparaître la charge électrique, également en tant qu'objet purement géométrique. Il ajoute à l'espace temps quadridimensionnel une cinquième dimension. Cet ensemble pentadimensionnel est alors géré par un nouveau groupe dynamique à onze dimensions, extension non triviale du groupe de Poincaré. L'accroissement du nombre des dimensions du groupe va de pair avec l'accroissement des composantes du moment, cette onzième dimension étant alors identifiée à la charge électrique q.

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