Y a-t-il un mathématicien-géomètre dans la salle ?

21 juin - 29 juin - 4 juillet - 9 juillet - 10 juillet 2016 - 12 juillet 2016

 

Lundi 18 juillet 2016 : L'article mis en ligne sur Researchgate :

 

L'ensemble des publications mises en ligne : 8000 vues

 

Un buzz scientifique :

 

                    

                                                            Pour télécharger cet article à partir de mon site

 

Comme je l'ai montré, ce second article a été immédiatement bloqué sur arXiv :

 

           

 

Mardi 12 juillet 2016 : Fichiers effacés sur arXiv, quelques jours après soumission et envoi du message ci-après :

 

                 

Traduction :

Les modérateurs ont estimé que les articles que vous soumettez n'avaient pas fait l'objet d'un contrôle suffisant, au point que ceux-ci puissent être considérés comme publiables par un journal conventionnel ( en clair, arXiv est un site de mise en ligne de prepirints, et ce que vous nous adresser ne mérite pas ce qualificatif ).

Et le message se poursuit par

Notez que les modérateurs d'ArXiv ne sont pas des referees et ne sont nullement tenus de produire les arguments sur la base desquels ils decident de rejeter un papier.

Nos modérateurs demandent qu'à l'avenir vous limitiez la soumissions d'articles à ceux qui ont été au préalable publiés dans une revue conventionnelle et "mainstream" (c'est à dire à des articles correspondant au courant de pensée actuel dominant dans la discipline). Des articles qui ne contiennent pas la référence des journaux où ils auraient été préalablement publiés seront systématiquement rejetés.

Si un nombre significatif de vos articles ont été publiés pendant une période aisonnable de temps, nous reconsidèrerons cette décision.

Pour plus d'information sur notre politique de modération, voyez l'adresse ci-après.

 

Tous les articles que j'ai envoyés à arXiv depuis 3 ans subissent maintenant le même traitement. Celui-ci est le dix-huitième. Il faut savoir qu'étant donné qu'arXiv a une envergure internationale il est hors de question que des centaines de milliers d'articles, dans maintes disciplines, soient "modérés" par les gens de Cornell University. arXiv "sous-traite" donc dans tous les pays et, en France, le sous-traitant d'aXiv est ... le CNRS, lequel confie aussitôt la surveillance des soumissions d'arXiv à des cerbères dans les différentes spécialités.

Me concernant, il s'agit très probablement des Cosmic Men français les plus actifs. L'un d'eux, aussi actif, y compris médiatiquement, que peu productif scientifiquement, sévit déjà sur Wikipedia, où il a été un des principaux acteurs responsables de mon exclusion à vie, il y a dix ans (pour avoir révélé l'identité d'un intervenant, un certain Yacine Dolivet, à l'époque doctorant, qui multipliait les interventions imbéciles, faisant état de son incompétence). On a sauté en fait sur le premier prétexte venu. Là, à arXiv, ces gens ont carrément mis en place des structures de rejet automatique dès que mon nom apparaît : ( IF "Jean-Pierre Petit" ... THEN ....).

Une telle situation relèverait d'une enquête de la part de journalistes scientifiques. Mais aucun ne bougera le petit doigt. Pourquoi ? Parce que cette structure de rejet les toucherait aussitôt. Or les journalistes scientifiques ont besoin d'être alimentés en "nouveautés" par les chercheurs mainstream. Si cette source se tarissant, leur position deviendrait immédiatement très inconfortable. Leur carte de "journaliste scientifique" pourrait éventuellement sauter, menace qui avait été brandie il y a 15 ans contre Martine Castellot. Quand notre livre sera sorti, à l'automne, on verra si un journalisme conventionnel peut mener une enquête, demander au CNRS qui gère arXiv-Cosmologie en France (la section d'arXiv qr-qc, c'est à dire General Relativity and Quantum Cosmology). Peut-on demander à savoir qui a émis ces mails imbéciles et choquants? Le Cnrs opposera sans doute un barrage immédiat, prétextant "l'indépendance de la structure de modération".

                          Affaire à Suivre.

Le CNRS a sa propre structure de mise en ligne de preprints, qui s'appelle HAL. ("archives-ouvertes'....).   Quatre cent mille documents en ligne.  J'ai tenté d'y accéder, mais celle-ci est exclusivement réservée aux chercheurs appartenant à un laboratoire, propre ou affilié au CNRS. J'ai demandé à mon ancien laboratoire, le LAM (Laboratoire d'Astrophysique de Marseille) à figurer sur ses effectifs en tant que "chercheur associé", ce qui était tout à fait faisable administrativement. J'ai rencontré le directeur qui m'a aussitôt opposé un refus catégorique, avant même que je puisse plaider ma cause dans son bureau.

Tout cela est une situation gravissime, vis à vis de l'avenir de la recherche française. Nous pouvons constater que la politique est gérée de plus en plus par des gens qui sont incompétents et nuisibles, comme nos actuels ministres de l'Education Nationale, de la Recherche et des Universités, Najat Belkacem, 38 ans, issue de Science po, recalée à l'ENA (ne connaissant rien à l'enseignement), comme Myriam El Kohmri, 38 ans, ministre du travail (quoique n'ayant jamais ... travaillé, comme Valls et Hollande, politiciens professionnels dès la fin de leurs études). MLyriam el Kohmri : diplôme d'études supérieures spécialisées, ministre du travail. Au coeur de cette responsabilité l'imbécile en chef, notre actuel Président, François Hollande qui, comme son premier ministre, n'a jamais fait autre chose que de la politique. Un incompétent ne peut que s'entourer de ses semblable.

20 juillet 2016 : Cette affaire de coiffeur payé 10.000 euros, confirmé par le Foll, porte-parole de l'Elysée (qui justifie cela en disant que ce type accompagne le Président partout dans ses déplaceents et est de service 24 heures sur 24) est profondément choquante.

Qui dira à ce bouffon " Tu vois ça, connard, ça s'appelle un peigne ! "

On est dans l'inimaginable, surtout dans le contexte actuel, terriblement dramatique. Avant, il y avait l'autre nain de la politique (sur tous les plans) qui salariait grassement une maquilleuse (il est possible qu'Hollande ait reconduit ce poste). C'est tout simplement méprisable. Et ce sont ces clowns qui sont à la tête d'un pays appelé la France ! C'est pitoyable, pathétique.

Il y a pire. Avec ces bataille des différents candidats, pourquoi ne retrouverions-nous pas le duo Hollande- Marine le Pen, au second tour des éléctions présidentielles, avec réelection de ce clown, pour barrer la route à l'extrême-droite .... Un cauchemard...

Valls : " il y aura d'autres attentats du même genre, d'autres victimes innocentes. Le combat contre le terrorisme sera long ".

Lisez ce texte, produit par un jeune homme qui, dans sa tête, est au huitième siècle. Vous saurez à quoi nous sommes confrontés.

Encore quelques attentats du même genre et la France pourra basculer dans la guerre civile. Comment ? Etape suivante : des plastiquages de mosquées. Je dirais même plus : ces attentats contre des mosquées, ça sera peut être DAESH qui les commettra, pour que cette "guerre finale" démarre. Certains pensent au début de la guerre d'Algérie. Au bout " la valise ou le cercueil ". Mais pour qui, pour aller où ?

J'ai entendu hier un responsable politique parler du fait qu'Erdogan songeait à rétablir la peine de mort en Turquie, et qui commentait cela en disant "alors il perdrait toute chance d'intégrer l'Union Européenne".

L'Union Européenne, en pleine guerre civile, un jour ? Pas impossible. Ce " terrorisme sans frontières " peut suffire à allumer cet incendie monstrueux. Autre aspect "moderne" : la propagation des idéologies par Internet, revers de la médaille d'une "modernité". Un autre phénomène totalement incontrôlable.

Ailleurs, on discute du sexe des anges : les transexuels ont obtenu de ne pas être stérilisés. Ainsi des hommes transformés en femmes conserveront leur droit imprescriptible à procréer.

Revenons à la question science :

Ce genre d'incurie frappe également le CNRS, à tous les niveaux. Le fait de demander que les papiers soumis soient "mainstream" (dans le courant des idées du temps) est en soi une complète aberration. Car une idée réellement neuve ne peut pas être "mainstream" (comme celles que je m'efforce de mettre en avant). Jadis cette incurie a marqué la mort définitive de la MHD française, un domaine où, en 1975, j'étais en pointe devant Américains et Russes ! Je me suis totalement détourné de ce domaine de recherche, ce qui ne m'a pas empêché, mettant à profit mes connaissances en matière de plasma, "froids" ou de fusion, de pondre cinq vidéos expliquant pourquoi le projet ITER est une aberration. La première a dépassé les 100.000 vues. Si vous composer ITER youtube sur Google vous la verrez apparaître aussitôt en tête de liste.

Non, les étudiants de l'Ecole Nationale Supérieure de l'Aéronautique n'auront pas de cours sur les entrées d'air contrôlées par MHD et sur la suppression de l'instabilité électrothermique, de Vélikhov. Aucun enseignant n'aurait, en France, compétence pour assurer de tels cours, qui s'inscrivent pourtant dans l'aéronautique de l'avenir.

Le livre nous nous allons sortir à l'automne, Jean-Claude Bourret et moi ( et qui est entièrement finalisé ) contiendra une partie réquisitoire contre ces décisions imbéciles, le Cnrs, le Cnes et l'Armée était désignés comme principaux responsables. Quant aux responsables, qu'ils restent sans inquiétudes, ils ne figurent dans l'ouvrage que par des lettres de l'alphabet.

Ce qui se passe ainsi en Cosmologie, et qui correspond à ce message d'arXiv n'est que l'expression du "mal français".

Je me souviens du calvaire qu'a vécu mon ami Jacques Benveniste à l'INSERM (la Recherche Médicale, version CNRS). Lazare, le directeur de l'INSERM de l'époque lui avait fixé un délai pour prouver ses dires, au terme duquel il a été proprement éjecté de ses locaux et confiné dans des baraques Algeco, dans la cour de son labo, jusqu'à son décès. Il est mort d'épuisement. Alors que c'était déjà un cehercheur confirmé et brillant ... nobélisable. A la place du directeur du Cnrs, réalisant que l'eau était le milieu le plus mystérieux qui soit, j'aurais suscité la création d'une recherche interdisciplinaire sur ce sujet. Je me souviens de la phrase d'un chimiste, responsable au Cnrs, qui avait dit en public devant nous, lors d'un festival "Science Frontières" :

- Moi, je ne sais pas pourquoi l'eau est liquide à la température ordinaire, et cela ne m'empêche pas de dormir

C'est à cause d'imbéciles de ce genre qu'on manque le rendez-vous avec des thèmes de recherches de pointe. Inversement, le Cnrs est totalement complice de mesures destinées à contraindre, sous peine de "mise au placard", des chercheurs confirmés à collaborer avec ces deux vaches malades, ces somptueux gâchis que sont les projets ITER et Megajoule.

 

Samedi juillet 6 heures, soit quatre jours après la mise en ligne sur le site de Researchgate, 546 connexions, 458 téléchargements de cet article. Du jamais vu sur Researchgate. Nous saurons lundi si des non-francophones ont téléchargé.

Ce même jour, nous avons enfin pu mettre la main sur un article de S.Antoci et D.E Liebscher, paru en 2001, il y a ... quinze ans, dans Astronomische Nachrischten, intitulé "Reconsidering Schwarzschild's original solution", qui va exactement dans le même sens que le nôtre. Bien que positionné dans la section gr-qc d'arXiv, où les Cosmic Men se tiennent mutuellement, et fébrilement au courant de leurs "avancées" et réflexions diverses, cet article ne semble pas avoir suscité d'échos. Le fait que notre travail ait plus d'impact vient du fait que nous l'avons (re)configuré de telle manière à ce qu'il touche plus de monde (avec des illustrations, des exemples en 2D).

Si des choses bougent ( et elles doivent bouger ) cela ne sera qu'en partant de "la base", de gens curieux et ouverts, qui interpelleront les stars de la discipline, lesquels ne répondent pour le moment à cet article que par un silence assourdissant.

D'autant plus que 2016 est "l"année Schwarzschild" et 2017 "le centenaire de l'invetion de la Relativité générale".

Il va falloir, en les citant, que nous reprenions le texte de :

                         L'article, mis en ligne sur Researchgate, téléchargeable à partir de mon site, moins quelques petites coquilles

Mise en ligne du 29 juin 2016 ( seconde partie de ce feuilleton, voir la première partie plus bas )

La situation est ... intéressante. L'article en question, tel que publié dans Modern Physics Letters A, est consacré à l'élimination de la singularité centrale dans la solution de Schwarzschild. Ce concept est à la base du modèle du trou noir. Or il semble bien que cette singularité centrale n'existe que dans l'imagination des black hole men. Prétendre cela équivaut à jeter aux orties des milliers de publications scientifiques et des centaines de thèses de doctorat. Comment est-ce possible ?

Ici, nous allons tous essayer de tirer cela au clair.

Dans les semaines passées j'ai fait des demandes de séminaires dans différentes directions. J'ai également écrit à une demi-douzaine de spécialistes en cosmologie et en ... géométrie.

Un seul m'a répondu, en me disant qu'il avait parcouru notre article rapidement, mais qu'étant donné que "toutes ces choses étaient établies de longue date, il était sceptique sur le fait que notre travail puisse apporter quelque chose de nouveau". Disons que cette page pourra entre autre constituer une réponse à son mail.

Je pense en effet que ça sera très dur d'amener des experts à simplement envisager que cette singularité centrale puisse ne pas exister. Rien qu'en lisant le litre de la publication, ou celui d'une proposition de séminaire, ils zapent. Certains se sont dit "Je ne vais pas répondre à une ânerie pareille", je pense.

Donc, si nous voulons que cette idée passe, il faut s'adresser à des gens qui n'ont rien à perdre dans l'opération : des étudiants, des ingénieurs, des gens ayant un minimum de bagage scientifique. En m'adressant à ceux-là je vais donc évoquer des concepts de base en géométrie différentielle. Au passage cela permettra à des gens ayant des connaissances de maths sup d'entrer de plein pied dans ce domaine réputé inabordable.

On commence par le concept de métrique, et on va l'illustrer avec un exemple, celui du tore. Nous allons envisager un déplacement élémentaires sur cette surface et calculer la longueur de ce déplacement. La figure ci-après suffit à situer le problème. En haut et à droite, la façon dont on repère le point sur le petit cercle "générateur".

                                                             

Trigonométrie plus Pytaghore nous donnent cet élément de longueur.

                                                                         

Cette expression encadrée est ce qu'on appelle la métrique du tore, ici exprimée à l'aide d'un jeu de coordonnées particulier et . Sans même utiliser le recours du dessin on peut y "lire" l'existence de deux familles de cercles particuliers, qui montrent que cette surface n'est pas "null homotopic", c'est à dire qu'on peut y tracer des courbes fermées dont une ne peut pas amener la longueur à zéro, l'homotopie étant une transformation où on déforme cette courbe de manière continue, en assurant la continuité de la tangente le long de ce contour fermé. Considérons les courbes correspondant à = constante. Ce sont des cercles, sur lesquels :

                                                              

Ce sont les cercles générateurs du tore ( les petits cercles de la figure ci-dessus.

Considérons maintenant les coupes du tore correspondant à = constante. Dans la figure ci-dessus ceci conrrespondra à des cercles se situant dans des plans perpendiculaires à l'axe de symétrie du tore. Inutile de les dessiner pour les visualiser. Ils correspondront à :

                                                                                     

ayant pour périmètre ( en n'opérant qu'un tour ) :

                                                             

Ce qui imposera la contrainte :

                                                                                       

Le plus petit cercle : on retrouve le cercle de gorge du tore. Le grand, c'est le cercle de jante.

Mathématiquement, une métrique peut s'exprimer dans une infinité de jeux de coordonnées. Nous allons passer d'une coordonnée à une coordonnée r (qui représentera la distance du point à l'axe de sympétrie du tore ). Il nous faut exprimer dans l'expression de la métrique ce changement de variable, en particulier à travers l'élément différentiel d

On extrait l'angle avec une fonction inverse, " l'arc sinus". Ca vous rappelle des souvenirs ? ....

                                                           

La métrique du tore est exprimée avec un premier jeu de coordonnées ( , ), mais il est évident qu'on peut l'exprimer dans n'importe lesquelles des coordonnées. Vous vous approchez ainsi, sans vous en rendre compte, d'un des concepts les plus pointus de la géométrie différentielle : la manipulation d'objets "coordinate invariant". Une métrique est l'un de ces objet.

Ainsi, tel Monsieur Jourdain, vous voilà en train de faire du calcul tensoriel sans vous en apercevoir. Mais je suis toujours partisan d'aborder les choses par le bas, en cherchant d'abord à quoi ça peut servir avant d'établir de puissantes généralités, en général opaques au premier coup d'oeil.

 

Dark Singularity

Donc, on va passe à des coordonnées ( r , ). Pour cela il faut différencier pour passer à une différentielle dr

                                          

Pour ceux qui doivent dépoussiérer leurs connaissances, si la dérivée d'une fonction y = fx) est y' = dy/dx la dérivée de la fonction inverse x = g ( y ) c'est tout bêtement x' = dx/dy , donc l'inverse de la précédente. La dérivée du sinus, c'est le cosinus, qui est égal à la racine carre de 1 moins le sinus carré, c'est à dire de 1 - x carré. Vu ?

Vous suivez ? On continue ...

La métrique s'exprime alors comme ci-après. Mais elle se réfère au même objet.

                                                                               

On a un dénominateur, qui s'annule pour :

                                                                                   

Un dénominateur qui s'annulle ? Cela nous fait apparaître deux "singularités" sous la forme de deux cercles correspondant à

                                                                                 

Mais un tore ne présente aucune singularité ! Pour ceux qui n'ont jamais vu un tore, c'est comme une chambre à air de voiture, moins la valve.

Gilles d'Agostini, mon coworker depuis 20 ans, propose qu'on appelle cela une dark singularity, une "singularité sombre, ou ... noire".

Comme depuis des décennies on est dans la dark science jusqu'au cou, c'est pas mal. Eh oui, on nage dans la dark matter, la dark energy. On est plus à un dark machin près.

 

Signification de la modification de signature

Autre remarque : si le dénominateur est positif entre ces deux valeurs, il change de signe à l'extérieur. Or les signes des éléments de cette métrique constituent ce qu'on appelle sa signature. Donc dans la première formulation c'était ( + , + )

On voit alors qu'avec cet autre jeu de coordonnées, à l'intérieur des valeurs "critiques" la métrique est ( + , + ) alors qu'en dehors elle devient ( - , + )

Qu'est-ce que cela signifie ?

Envisageons des "trajectoires radiales" , en gardant phi constant. L'élément de longueur devient :

                                                                                    

De toute évidence, à l'intérieur du domaine

                                                                                         

le dénominateur est positif, mon élément de longueur est réel. Je suis bien dans la surface.

A l'extérieur l'élément de longueur devient imaginaire pur : je suis en dehors des clous, en dehors de la surface et la signature a changé.

 

Objet imaginaires, avez-vous donc une âme ?

En mathématique on peut écrire n'importe quoi, ça a toujours un sens, à condition de respecter un certain nombre de règles de syntaxe et de grammaire qui sont propres à ce language particulier. Car les mathématiques sont un language avec une structure hypothético-déductive. Une des richesses de mathématiques est qu'il arrive parfois qu'on manipule des éléments imprévus, qui obligent à étendre l'espace du discours. Imaginons qu'on se replace à l'époque, fictive, où on viendrait juste d'inventer l'arithmétique, l'algèbre et l'opérateur "chercher la racine carrée de" . Soudain quelqu'un se dirait "que se passe-t-il quand j'écris la racine carré d'un nombre négatif?". On aurait alors été dans l'obligation d'étendre l'algèbre aux nombres complexes et "racine de moins quelques chose" deviendrait alors un nombre imaginaire pur.

Si on définit un cercle par son équation x2 + y2 = 4 et qu'on envisage de chercher son intersection avec la droite x = 7, le calcul formel nous fournira bien deux valeurs de l'ordonnée correspondante y. Mais ces valeurs, plus ou moins racine de moins 45 seront imaginaires pures. On en déduira que cette droite ne coupe pas ce cercle.

Revenons à l'exemple ci-dessus où une formule nous permet de calculer un élément de longueur au voisinage d'un point supposé se trouver sur une surface, définie par sa métrique, par cette formule. En dehors du domaine ci-dessus, la longueur devient ... imaginaire. Pourrait-on dire qu'on se trouve "dans la partie imaginaire d'un tore" ?

Imaginez un garagiste fou qui a décidé de coller, sur une chambre à air, une rustine, en un point situé près de l'axe de la roue. Il y arrivera peut être, sur une chambre à air imaginaire, pas sur la chambre à air réelle, celle .... du physicien.

Après ce préambule, vous aurez envie de dire : "Mais que veut-il me montrer avec cet exemple ?"

 

C'est très facile de créer de la singularité là où il n'y en a pas

Donnons un exemple encore plus simple, en partant de la métrique de la sphère :

                                               

Prenons là encore la distance r à l'axe comme nouvelle variable :

                                           

La métrique s'exprime alors sous la forme :

                                   

Encore une fois, on a créé une description de la sphère, pour r > R , qui ne correspond à rien de réel. En même temps on a un "lieu singulier", en r = R qui n'est qu'une coordinate singularity.

Au passage on remarquera que sous sa forme première cette métrique est telle que :

                                                   

En ces points le déterminant de la métrique est nul. Pourtant les pôles d'une sphère ne sont pas des "true singularities".

 

Des objets géométriques définis par leur métrique

C'est tout le problème d'un objet géométrique défini par sa métrique. En principe celle-ci peut être définie en utilisant n'importe quel système de coordonnées. Mais, à quel jeu joue-t-on ? On fait de la physique ? On reste dans le réel, où on se donne le droit de s'ébattre dans une métaphysique imaginaire ? Il faut définir les règles du jeu.

La physique : c'est le choix du jeu de coordonnées, la façon de lire une solution mathématique

S'agissant de ce tore, pour lequel vous pouvez disposer d'un plongement isométrique dans R3 ( qui conserve les longueurs ) vous refuserez l'idée de manipuler des longueurs imaginaires pures, ou complexes. Enfin, au risque de paraître vieux jeu, le physicien que je suis s'y refuse.

Au risque de paraître vieux jeu, restons dans le réel.

Eh bien c'est pareil en physique. En Relativité Générale on manipule des métriques à tout vat. Ces métrique se réfèrent à un "objet géométrique", qui est indépendant des coordonnées qu'on prend pour le décrire, à condition de rester dans les clous, de ne pas avoir un élément de longueur imaginaire, de rester dans l'hypersurface.

Si vous obtenez une longueur imaginaire pure, ou que votre système de coordonnées vous fait apparaître dans certaines régions un changement de signature, avec comme corollaire une singularité quelque part, danger : vous sortez de l'hypersurface, vous disqualifié.

C'est ce que nous allons vous montrer dans ce qui va suivre, dans du 4D. Nous nous réfèrerons à l'article original de Karl Schwarzschild, publié en 1916.

 

Retour vers le papier original de Schwarzschild, 1916

Rappelons les faits : en 1915 Einstein publie aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Prusse un article qui deviendra célèbre, où il présente "l'équation d'Einstein". Il aurait été plus juste de l'appeler l'équation d'Einstein-Hilbert, mais passons ...

Molibilisé sur le front russe Karl Schwarzcshild trouve aussitôt la première solution de cette équation. C'est à la fois un grand physicien et un grand mathématicien. Il envoie ce travail à Einstein qui, entre temps, est devenu referee de cette revue. Celui-ci publie d'article. Sur cet article original, en allemand (Merci à Thiéry Pierre qui a mis la main sur un pdf fabriqué avec des scans de l'article original (combien l'ont lu ?) vous trouvez cette métrique, que tous ceux qui font de la cosmologie ont eu mille fois sous les yeux. Mais, chose bizarre, elle est exprimée avec une coordonnée R, et non r.

Encore plus bizarre, immédiatement à droite on trouve une relation permettant de passer de cette coordonnée R , désignée dans son article par Schwarzschild comme "un simple intermédiaire de calcul" à une coordonnée r . Au passage, la constante alpha, c'est le rayon de Schwarschild Rs ou 2m selon la façon dont on décide d'écrire cette constante.

                                       

Nous écrirons ce changement de variable introduit par Schwarzschild :

                                                               

Lequel, c'est clair, impose que R soit plus grand que le rayon de Schwarzschild.

Voici la traduction de l'article en anglais, faite par deux Italiens. Vous pourrez vous repérer plus facilement. Dans cet article, dès sa deuxième page, Schwarzschild choisit une bête coordonnée radiale. On ne peut pas être plus clair. Et c'est cette coordonnée r qui figure dans l'expression du changement de variable liant R et r .

               

Fort bien, terminons le travail. Effectuons le changement de variable inverse pour exprimer cette solution métrique dans des coordonnées

( t , r , theta , phi ). Voyons ce que cela donne :

                                           

Diable, est-ce ... "la métrique de Petit" ???

Non, c'est tout simplement la métrique de Schwarzschild, l'expression de sa solution, dans les coordonnées qu'il avait choisies dès le départ.

Mais alors, pourquoi n'a-t-il pas fini son travail ? Parce que son but était de recoller avec le résultat de "Monsieur Einstein", ce qu'il dit à la fin de l'article. Celui-ci avait construit une solution (il restera à aller chercher son article original, vraisemblablement en allemand où il a consigné son travail). Schwarzschild ne fait qu'évoquer ce travail de "Monsieur Einstein" où celui-ci a effectivement trouvé l'avance du périhélie de Mercure, mais en utilisant une coordonnée R, qui semble être cet intermédiaire de calcul utilisé par Schwarzschild. Il faudra vérifier.

Si vous regardez la véritable expression de la solution de Karl Schwarzschild, encadrée, vous verrez que celle-ci est exempte de pathologies. Plus de dénominateurs qui tombent à zéro. La variable r peut tranquillement varier de zero à l'infini.

Au passage, pourquoi Schwarzschild n'a-t-il pas donné cette expression lui-même ?

Il n'en a pas eu le temps. Peu de temps après il a contracté dans les tranchées une affection qui l'a emporté quatre mois après.

Regardons cette métrique et envisageons sur cette hypersurface à 4 dimensions des trajectoires ( qui ne sont pas des géodésiques ) qui correspondraient à t et r constants. On a alors :

                                                                               

On reconnait, au signe près, la métrique d'une famille de sphères de rayon

                                                                                                 

On aurait tendance immédiatement à qualifier ces sphères de "concentriques". C'est du à la façon dont, mentalement, nous engendrons les sphères, en tant que lieu des points se situant à égale distance d'un point fixe, ou centre. Mais il nous faut penser les choses autrement. En théorie des groupes on a un groupe O3, qui est le "groupe des rotations en 3 dimensions". Si on cherche les objets qui sont invariants par O3 on trouve ces sphères. Invariants, signifie que quand on "fait agir ce groupe" sur l'objet, celui-ci "se parcourt lui-même". Si on fait agir O3 sur une de ces sphères, elles resteront identiques à elles-mêmes.

O2, c'est l'équivalent à deux dimensions. Revenons au tore de tout à l'heure. On y avait trouvé une famille de cercles correspondant à = constante :

                                                                                           

Ces cercles étaient invariants par l'action du groupe O2, un groupe que l'on imaginera ( dont on se fera une image ) en imaginant les rotations autour de l'axe de sympétrie du tore. Mais ces cercles "ne sont pas concentriques", au sens où il ne sont pas définis comme les lieux des points à égale distance d'un point fixe, leur "centre". Il faut les concevoir, les penser, les imaginer comme des objets invariants par l'action du groupe O2. C'est une géométrie construite à partir de la notion de groupe.

Ca nous parait évident de penser que cette famille de cercles inscrits sur le tore et situés dans "des plans horizontaux" ( une autre ... image ) ont un périmètre maximal et un périmètre minimal.

Mais il est beaucoup plus difficile d'imaginer que les sphères, liées à la métrique de Schwarzschild, puissent avoir une aire minimale qui correspond à la valeur R = Rs , quand r = 0 . Avec une dimension de plus, l'objet "contractile" n'est plus un lacet (une courbe fermée) mais une surface ayant la topologie de la sphère ( ici, tout simplement une sphère ). Et l'aire remplace le périmètre.

Un espace "null homotopic" 3D sera un espace où, partout, on pourra imaginer une surface fermée ayant la topologie de la sphère qui puisse se contracter ("par homotopie régulière") selon un point.

Le tore n'était pas "null homotopic" au sens où on trouvait des familles de cercles qui refusaient mordicus de se contracter selon un point, en restant bloqués au "cercle de gorge", de périmètre minimal.

Les mathématiciens ont des tas de mots compliqués pour dire tout cela, dont je préfère vous épargner la lecture.

Il nous faut alors imaginer que l'hypersurface de Schwarzschild, non null homotopic puisse correspondre à ce qu'on pourrait appeler une structure hypertorique possédant une structure faisant état d'une sphère de gorge (équivalent 3D du cercle de gorge du tore, objet 2D).

L'erreur qui a été faite, en 1916, en confondant la grandeur R introduite par Schwarzschild dans son article fondateur, pour lui simple intermédiaire de calcul, avec une distance radiale. Cette confusion traduit le fait qu'on a qualifié, sans le savoir, l'hypersurface de Schwarzschild de null-homotopy, propriété qu'elle ne ... possédait pas.

 

Pas plus de singularité que de beurre en broche ...

Mais, quand même, les coefficients de la métrique deviennent nuls quand r tend vers zéro. Serait-ce à dire que nous autions en r = 0 une singularité ?

Attention, ce r = 0 n'a rien à voir avec R = 0 ! Quand r = 0 on a R = Rs. Mais il faut quand même y aller voir.

D'après ce que je crois avoir compris on a une vraie singularité, une true singularity (et non une coordinate singularity, qui peut être éliminée par un changement de coordonnées, voir l'exemple du tore, ci-desssu) quand l'invariant de Kretchmann devient infini.

Dans la métrique de Schwarzschild le rayon de Schwarzschild ( sa constante alpha ) est :

                                                                                             

Le scalaire de Kretchmann est :

                                                                       

Il ne s'agit plus de l'évaluer quand R = 0 mais quand r = 0 , ce qui correspond à R = Rs . On trouve

                                                                                   

Une valeur tout à fait "paisible". J'en déduis que la solution de Schwarzschild, si exprimée dans "les bonnes coordonnées", est exempte de singularité.

Je pense que quand on envisage d'explorer "l'objet" pour des valeurs R < Rs on est simplement "hors hypersurface". D'où des tas de trucs qui deviennent imaginaires purs. Le "prolongement analytique de Kruskal" me semble être "une façon d'étudier la géométrie du tore au voisinage de son axe".

Au passage, je l'ai déjà dit, le fait de remplacer la métrique de Schwarzshild par celle de Kerr ( objet axisymétrique ) ne change rien au problème.Le cacul est plus compliqué mais le changement de variable fonctionne encore.

Mais alors, quid du changement de variable :

                                                                                      

La métrique prend alors la forme (voir le détail du calcul plus loin dans la page ) :

                         

Là encore on peut considérer des trajetssur l'hypersurface correspondant à t et constants. Il vient :

                                                                         

On reconnait la métrique d'une famille de sphères, d'aire :

                                                                             

Celles-ci ont une aire minimale, quand la variable   devient nulle. :

                                                                                                   

C'est l'aire de la sphère de gorge de cette 3-Hypersurface.

Respirez un grand coup. Ca va aller, vous verrez ...

Dans cette description en , dans cet espace de représentation, celle-ci peut prendre des valeurs négatives et alors l'aire des sphères se remet à croître, de même que le périmétre de la famille des cercle "horizontaux" ( c'est à dire invariants par action du groupe O2 ) se remet à croître quand on a passé le cercle de gorge.

Je sais que tout ceci est assez difficile à intégrer. Certains y parviendront facilement, d'autres, non. La vision dans l'espace n'est pas un talent partagé par tous ( il y a d'ailleurs des spécialistes en topologie qui ne voient absolument pas dans l'espace et pour lesquels la manipulation des objets géimétrique se limite à celle que mon épouse appelle " des crottes de mouches" ).

On pourrait faire une digression en étudiant l'objet défini par la métrique :

                                                   

Exprimée à l'aide de la variable r selon le changement de variable "magique" :

                                                                                       

ou, à travers son changement de variable inverse :

                                                   

on retrouve alors la métrique du "diabolo 3D" avec cette variable r :

                                                                        

Voilà qui vous semble un peu plus familier. Et, en enlevant une autre dimensions on a la métrique du " Diabolo 2D " :

                                                                                     

Dont on sait qu'elle définit une 2-surface qui se prête alors à un "plongement isométrique dans R3" ( conservant les longueurs ) :

                                                         

                                                                                              Diabolo 2D

 

On a montré ( dans l'article téléchargeable ) que cette surface était engendrée par la rotation d'une "parabole couché" autour de l'axe OZ.

Là, ça se dessine, on est rassuré, ça va. Il y a un "cercle de gorge". Plus difficile : passer au Diabolo 3D, qui a une sphère de gorge, et qui est proche parent de l'hypersurface de Schwarzschild, qui a aussi une sphère de gorge. Là, fini le dessin, rassurant.

Le fait que le déterminant de la métrique devienne nul en rho = 0 me semble être lié à l'inorientabilité de l'hypersurface en ce point. J'ai posé la question à un mathématicien-géomètre de l'université de Marseille. Pas encore de réponse; Ca me semble être une question importante.

 

En conclusion :

Nous n'avons fait que retourner à la publication originale de Schwarzschild. Si Schwarzschild avait désigné son "auxilliary quantity" par la lettre Z il n'y aurait jamais eu ce problème. Comment en est-on arrivé à considérer cet intermédiaire de calcul comme une coordonnée radiale ?

La réponse tient dans cette formule

                                                                              

On voit "qu'à grande distance" ces deux grandeurs se rejoignent. Ainsi le calcul de l'avance du périhélie de Mercure donne le même résultat avec les deux variables. On peut penser qu'Einstein qui, de son propre aveu, n'était pas calé en maths, mais avait une intuition physique hors du commun, ne serait passé allé cherché plus loin. Et aucun de ses successeurs n'auraient remis en question les écrits du maître. C'est un peu vertigineux, mais ça n'est pas impossible.

Les experts diront : "vous amputez l'hypersurface d'une partie"

Nous, on pense qu'ils ont rajouté à l'hypersurface une portion ... imaginaire, qui n'a aucun sens physique.

Si nous avons raison, bonjour les dégâts. Exit les "théorèmes fondateurs sur la singularité"

Si nous avons raison, alors le "prolongement analytique" de Kruskal, qui permet d'examiner comment les choses se passent "à l'intérieur d'un trou noir" n'aura plus sa place dans les manuels de cosmologie (...).

Si on opte pour la descripion en rho on doit alors s'interroger sur la signification de la portion de l'hypersurface (qui devient alors me semble-t-il un hypercone ) qui correspond à rho négatif. Géométriquement cet autre versant tend vers un espace de Minkowski, avec une métrique de Lorentz. Est-ce que ça correspondrait à l'intuition d'Hawking (avril 2016) qui disait que l'objet menait "vers un autre univers"?

Dans l'article que nous avons publié en 2015 on suggère que ce second versant est PT-symétrique. Il y a à la fois énantiomorphie et inversion de la coordonnée temps. Donc, théorème de Souriau, inversion de l'énerguie et de la masse. Ce "passage", quelle que soit la forme qu'on imagine lui donner (un simple point ou une "sphère de gorge" ) traduit une inversion de la masse.

 

                                                                                                                                              Affaire à suivre ...

 

Mis en ligne le 21 juin 2016 ( peut être considéré comme la première partie du document )

Nous avons publié en mars 2015 un article

          Cancellation of the central singularity of the Schwarzschild solution with natural mass inversion process

                                                                                  J.P.Petit & G. D'Agostini

                                                          Modern Physics Letters A 30(09):1550051 · March 2015

Cet article est, au passage,  une pierre jetée dans le jardin des black hole men, français ou étrangers. Or aucun de ceux-ci ne réagit, malgré des démarches directes envers eux.

Situons le problème. Le modèle du trou noir émerge d’une solution mathématique de l’Equation d’Einstein. Ou plutôt de deux solutions.


La première voit le jour en 1916, sous la plume de Karl Schwarzschild. Elle se réfère à une solution à symétrie sphérique, donc ne pourrait convenir pour un objet en rotation.


En 1967 le Néo Zélandais Roy Kerr produit une solution similaire, axisymétrique, qui peut alors se prêter à la description d’un objet relevant du bestiaire astronomique.


En effet, si les trous noirs existent, ils sont le résultat d’un processus d’implosion ou de fusion de deux objets. Le point de départ est l’étoile à neutrons. Aucun astrophysicien n’imaginerait qu’une étoile à neutrons exempte de rotation puisse exister. Résultat de l’implosion du cœur de fer d’une supernova ces objets sont comme la patineuse qui ramène ses bras le long de son corps. Et, de fait, la rotation des étoiles à neutrons est extrêmement rapide et peut atteindre 1000 tours par seconde.

Donc la métrique de Schwarzschild ne saurait être utilisée pour construire ce modèle théorique du trou noir, c’est un fait. Par contre cette solution géométrique possède tous les attributs qu’on prête à ce objet : son horizon des évènements, sa « sphère de Schwarzschild », le fait que sa pérennité soit fondée sur un découplage temporel. Si les trous noirs existent, ce sont des objets qui implosent en un millième de seconde mais seraient, pour un observateur extérieur « en arrêt sur image ».

Enfin la géométrie de Schwarzschild est censée recéler « en son centre » une mystérieuse singularité, physique et mathématique, sur lesquels de très beaux théorèmes ont été produits.

Dans l’article de Modern Physics Letters A nous avons fait disparaître cette singularité comme par un coup de baguette magique. Si nous n’avons pas produit l’équivalent pour la solution de Kerr ça n’est pas parce que ce changement de variable, le même, n’a pas le même effet, mais parce que c’est un peu plus compliqué, moins évident.
Donc l’échappatoire des black hole men ne serait pas de dire :

  • D’accord, ce que vous montrez crée un fort doute sur l’existence de cette singularité centrale, pour la géométrie de Schwarzschild, mais la géométrie de Kerr est différente

Non, cela fonctionne de la même façon. Mais ce n’est pas de cela dont nous allons parler dans ce papier. Nous nous attendions à ce qu’il y ait des réactions face à ce premier papier de 2014. Or, deux ans après sa parution le silence est sidéral. Pourtant l’évidence de l’élimination de cette singularité peut être perçue par des non spécialistes, disons ayant un niveau « mathématiques supérieures ». Et c’est à ces gens que nous nous adresserons ici.

Pour suivre ce qui va suivre on a besoin de savoir ce que sont :

                                              - une dérivée

                                              - une différentielle

                                              - une dérivée de fonction de fonction

                                              - une fonction  logarithme et sa dérivée

                                              - une fonction exponentielle et sa dérivée

                                              - un développement en série de Taylor

C’est tout …

La métrique de Schwarzschild, premier fondement du modèle du trou noir est, comme la métrique de Kerr une solution de l’équation d’Einstein sans second membre, donc se référant à une portion de l’espace où la densité d’énergie-matière est strictement nulle.

Elle ne dépend pas du système de coordonnées choisi. Cette métrique se réfère à un « objet géométrique » et le jeu de coordonnées est l’outil utilisé pour le décrire, pour « lire » cette géométrie, pour cartographier cette hypersurface. De même qu’un système de méridiens et de parallèles est l’outil qui permet d’appréhender une sphère S2.

Là on voit tout de suite une chose. Ce système de cartographie recèle des lieux singuliers : les pôles, où l’azimut, ou longitude est alors indéterminée. Se sont donc des lieux singuliers, mais cette singularité est issue du choix des coordonnées. Elle n’a pas de réalité physique. Les pôles sont donc des coordinate singularities.

Voici la métrique de Schwarzschild telle qu’elle émerge du calcul :

Rs est une constante, choisie comme étant positive, et identifiée à une longueur. C’est le « rayon de Schwarzschild ». Si cette solution s’organise autour d’un « objet » associé à une masse M ( la masse du trou noir ).

Alors :

où G est la constante de la gravitation et c la vitesse de la lumière. On voit ensuite apparaître des lettres qui sont les coordonnées dans lesquelles on a choisi de représenter cette solution



Quand r = Rs on a un dénominateur qui devient nul.

Même chose quand r = 0

Question : est-ce que ce pourraient être des coordinate singularities, des pseudo singularités qui résulteraient d’un mauvais choix de coordonnés ?

La question a été débattue depuis un siècle. Plusieurs changements de variable permettent d’éliminer la singularité  en r = Rs , mais on considère que celle situe « au centre de l’objet » ne peut être éliminée, que c’est une true singularity.

c’est à dire une métrique de Lorentz, ce qui traduit la satisfaction des lois de la Relativité Restreinte.

La valeur r= 0 correspond à r = Rs


est génératrice d’une perception erronée de la topologie . Ceci provoque un changement de la signature pour certaines valeurs d’une « coordonnée radiale. Corrélativement, certaines quantités deviennent imaginaires ce qui signifie qu’on est alors « hors hypersurface ».

A l’inverse, dans le nouveau système de coordonnées aucune quantité imaginaire n’émerge. Cette structure géométrique se présente alors comme un « pont » entre deux espace temps Lorentziens. Dans une description où on conserverait la variable r, ceci représenterait la réunion, de deux espaces « bordés » selon une sphère de gorge, la sphère de Schwarzschild.

De même que dans un tore on a la réunion de deux espaces affectant la forme de deux bandes circulaires, bordées par deux cercles. Le recollement s’effectue alors le long d’un cercle de gorge et d’un cercle de jante. 

 

Conjecture :

Il y a une série de questions que j’aimerais poser à des mathématiciens géomètres, en séminaire.

  • Est-ce que la signature d’une métrique riemanienne, solution de l’équation d’Einstein est un attribut intrinsèque de la géométrie à laquelle elle se réfère ?
  • Est-ce, si dans un système de coordonnées choisi, quand dans une région on constate une modification de cette signature on n’est pas « hors hypersurface » ?
  • Est-ce qu’il n’existe pas une ensemble de systèmes de coordonnées qui préservent la signature et qui s’avéreraient alors plus aptes à décrire cette géométrie.
  • Est-ce qu’il n’est pas a priori plus sain de rechercher une lecture où les singularités disparaissent ?
  • Est-ce qu’on peut décrire cette hypersurface en utilisant deux jeux de coordonnées ? Est-ce que ça n’est pas plus « sain » de chercher à décrire toute l’hypersurface avec un jeu unique ?
  • Dans l’exemple ci-dessus il est clair que le nouveau jeu de coordonnées implique une description de l’objet différente au point de vie topologique
  • Est-ce que le choix d’une jeu de coordonnées n’implique pas une hypothèse topologique sous-jacente ( avec cette variable r, que cet objet ait un « centre » )
  • Corrolaire : est-ce qu’une solution métrique de l’équation de champ ne contient pas, implicitement, une information concernant sa topologie (celle qui permet l’élimination des singularités) ?

A ce jour je n’ai pus avoir aucun commentaire de black hole men, français ou étrangers et je suis à la recherche d’un séminaire de géométrie où ces questions pourraient être envisagées.

 

Post Scriptum :

On peut maintenant aborder le problème sous un autre angle. Supposons qu’en 1916 Schwarzschild a recherché une solution avec le système de coordonnées       . Ce sont seulement des lettres. La mécanique calculatoire qui permet d’arriver à la solution de l’équation d’Einstein représente juste un jeu avec ces lettres, en accord avec une syntaxe. Schwarzschild serait alors arrivé à la formulation :

Il aurait constaté que cette expression ne lui posait aucun problème particulier, toutes les variables pouvant prendre toutes les valeurs possibles dans     . On se souvient que     est alors un nombre, positif ou négatif.

Première remarque : pour les valeurs élevées de     , en valeur absolue, la métrique devient Lorentzienne. Il semble alors logique de se dire que pourrait représenter « l’espace » et que cette descriptio indique que la solution se réfèrerait à un objet géométrie situé dans un espace de Minkowski, dans le « vide ».

Autre remarque : pour des valeurs « assez grandes » de    les géodésiques rejoignent les cônique correspondant à des trajectoires Newtoniennes. Et de retrouver l’avance du périhélie de Mercure et l’effet de lentille gravitationnelle due à une masse M.

Voici ine des géodésiques plongeant dans le point O :

 

Mais que dire du comportement des géodésiques qui plongent dans le point O et passent  en négatif ?

Introduisons le changement de variable :

qui n'est rien d'autre que l'inverse du changement de variable

Remarquons tout de suite que pour des valeurs réelles de     ce changement de variable impose que r > Rs.

La métrique devient :

Que dire alors de gens qui voudraient porter leur attention sur ce qui se passe en r = 0 et y voir une singularité "centyrale"

On pourrait alors leur répondre qu'en introduisant ce changement de coodonnées  

  et en passant à une description en

ils concentre leur intérêt sur un objet qui n'appartient pas à l'espace temps. C'est un fantôme et cette soi-disant singularité cetrale est une "ghost singularity".

L’image de ce point O est en représentation       la sphère de Schwarzschild r = Rs .  Quand la géodésiques en parvient en elle se plonge en r < 0 . Mais ceci correspond à r se remettant à croître ce qui fait que dans cette représentation la particule témoin donnera l’impression de rebondir sur la sphère de Schwarzschild, pas d’y pénétrer.

Mais comme on n’a pas touché à la variable temps, pour un observateur distant une particule témoin met un temps infini à atteindre cette sphère de Schwarzschild, comme elle met un temps infini à la quitter. Il y a encore gel du temps, « arrêt sur image ».

Mais comme nous le montrerons par la suite ceci est encore lié à un choix particulier de cette variable temps.

 

Post Scriptum :

We can deal with the problem in a different way. Suppose that, in 1916, Swchwarzschild would have find his geometrical solution through a       set of coordinates.  They are just « letters ». Then he would have found :

This line elements owns no mathematical pathology of any kind. The time variable t can vary from     to plus infinite. Same thing for  .

Notice that        is a number.

So, what could be the physical meaning of such coordinates ?

Schwarzschild studys the associated geodesic system and find the curves are regular. But some dive into the point  = 0, which

reverse the space coordinate

 

At large distance, with  >> 1 the metric identifies to Lorentz, to the geometry of void.

Some geodesics turn around the origin of coordinates. At large distance they identify to newtonian paths. So that  such metric can fit newtonian dynamics.
 But what about the vicinity of the O point ? What about this inversion of the      coordinate ?

This suggests that the geodesic lines are extended in a     < 0 sector, while still corresponding to   r > 0  values.

In a descriptions the geodesics will seem to « bounce » on the Schwharschild sphere.


Pour télécharger ce fichier en pdf en franças et anglais :

Remarque en date du 6 juillet 2016

Ce qui se trouve dans cette page a fait l'objet de deux tentatives de mise en ligne sur le site de positionnement de preprints d'articles arXiv.org

Je suis black listé sur ce site depuis deux ans. Jusqu'en 2014 j'avais pu positionner des articles en gen.phys (physique générale, la section la moins consultée). Mais en 2014 tous mes articles se sont retrouvés systématiquement bloqués (on hold). La situation, en une année, a viré au grotesque puisque le nombre d'articles bloqués se montait à 14 !

Au bout d'un an les "modérateurs" du site arXiv ont décidé que ces articles étaient "non suitable" et ceux-ci ont été effacés de mon compte. Quatorze articles bloqués (prétenduement "en cours d'examen"), ça faisait désordre. On m'a ensuite précisé que je devrais, avant soumission à arXiv, avoir publié cet article dans une revue mainstream (le monde à l'envers, arXiv devenant pour moi un site de mise en ligne de .. postprints). On m'a également précisé que si je retentais de republier un de ces 14 articles "non suitable", je perdrais tout accès à arXiv.

J'ai donc tenté de positionner un premier article, mis immédiatement "on hold". Celui que j'ai soumis ce matin ne tardera pas à avoir le même sort.

Il faut espérer qu'un journaliste scientifique mènera son enquête pour tenter de savoir qui se trouve derrière ces mises sur liste noire.

Mais ça n'est pas cela qui est le plus choquant. En toute logique mes articles devraient être positionnés dans les section gr.qc (Relativité Générale et Quantum Cosmology) et astro.ph (Astrophysique). J'ai lancé un appel via mon site pour qu'un chercheur, remplissants les conditions pour être parrain sur arXiv accepte de me parrainer pour ces deux sections.

Pas de réponse ....

Je ne tarderai pas à reformuler cette demande, en l'adressant cette fois aux Cosmic Men et astrophysiciens Français, et cette fois nominativement. En cas de non réponse, ces lettres figureront sur mon site en tant que lettres ouvertes.

 


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