Vous savez tracer des géodésique sur une surface, en utilisant du ruban adhésif. Question : dans quelles conditions une géodésique tracée sur un posicône peut elle se recouper ?

    Prenons un point d'un cône de révolution et faisons démarrer une géodésique selon une direction perpendiculaire à une de ses génératrices :

    Considérons la génératrice symétrique, par rapport à l'axe de révolution de ce cône (tout cône peut toujours être déformé en cône de révolution, sans que ceci n'altère le dessin de ses géodésiques). Dans le cas du dessin ci-dessus, on obtiendrait ceci, en mettant notre cône à plat :

    On sait que l'angle de découpe représente alors la quantité de courbure angulaire concentrée au sommet du posicône. La géodésique se transforme alors en droite du plan, puisque la surface est développable.

    On voit que pour qu'une géodésique puisse se recouper il faut que l'angle de découpe soit supérieur à 180°, c'est à dire que le cône soit suffisamment pointu.

    En reconstituant notre cône, on obtiendra :

    Une géodésique d'un cône peut-elle "atteindre le sommet" ?

    Seules les génératrices du cône peuvent le faire. Quelle que soit la géodésique tracée sur un cône, aussi près soit-elle de ce sommet, elle ne pourra que s'en éloigner, même si elle semble "tracée de manière à s'en rapprocher". Il suffit de joindre le sommet du cône au point le plus proche de cette géodésique. La génératrice coupera alors cette géodésique à angle droit. On pourra opérer une découpe selon la géodésique opposée et mettre à plat.

    Aussi pointu que puisse être notre cône, on n'obtiendra que des recoupements successifs.

    Les géodésiques peuvent-elles se recouper indéfiniment ? Quand on développe le cône, tout se passe comme la géodésique "rebondissait" sur la génératrice qui joint le somment au point de rencontre.

    Ci-dessus, de toute évidence, le "rebond" envoie les deux portions de la génératrice dans des directions telles qu'elles ne pourront plus se recouper. Pour avoir plusieurs recoupements il faut un cône très pointu.

    Mais à chaque "rebond", l'angle s'ouvre et finit par rester prisonnier du secteur 2p - q . Le nombre des recoupements est fini.

    Les génératrices du cône constituent une famille tout à fait particulière. Mais qu'appelle-t-on cône ?

    On peut considérer que l'objet "cône" correspond au dessin ci-dessous, figure de gauche. Les géodésiques-génératrices sont alors des demi-droites.

    Mais on peut considérer qu'un cône correspond à l'objet de droite. Dans ces conditions, qu'appelle-t-on géodésique ? Si c'est le plus court chemin joignant deux points, on pourrait tomber sur des situations de ce genre :

    On pourra opter pour une structure cônique où chaque génératrice se prolonge selon une seconde génératrice située sur le second demi-cône et une seule, en formant un ensemble continu. On peut concevoir des points côniques dans un espace à trois dimensions (voir l'article 11 de Geometrical Physics A).

    D'autres types de singularités.

    Les points cuspidaux sont des points singuliers. On peut en recenser d'autres. Les "points côniques" par exemple, où les points de rebroussement de la surface, "points de hérissement".

    On crée un point cônique avec un poinçon. Pourrait donc appeler la modification "création de point cônique" P et sont inverse P^-1

    De même la création d'un point de hérissement correspondrait à la modification H. En fait la création du hérissement suit celle du point cônique. C'est un point cônique dont l'angle au sommet est devenu nul. Donc la modification conduisant au hérissement local d'une surface serait P H

et son inverse : H^-1P^-1

    Il y a d'autres façon de modifier une surface, par exemple en y créant un dièdre. La création de dièdre sera la modification D. Celle-ci peut être mise en œuvre indépendemment de toute autre, à condition de concerner un trajet fermé (sur une surface régulière). L'exemple le plus simple est celui de la sphère. On peut créer un "pli" le long de son équateur, par exemple. Au passage, ce pli contiendra de la "courbure linéique", thème déjà traité dans l'introduction de Geometrical Physics A.

    Si, dans une surface régulière, cette modification intéresse une segment, les extrêmités de celui-ci subiront chacun une modification P.

    Prenons une sphère, une sphère "molle", déformable. Mettons-nous à l'intérieur avec un segment, une règle rigide et enfonçons la sphère avec. Les deux extrêmités de la règle commencent à entrer en contact avec la surface. Effet "poinçon" : apparition de peux points côniques. On continue à pousser. Le segment vient au contact de la sphère, mais le dièdre ne se forme pas encore. S'il est au contact avec la sphère, cela signifie seulement qu'il existe sur cette sphère un trajet AB rectiligne. Mais ça n'implique pas automatiquement que la sphère ait un pli. On peut comparer cela au montage d'une tente de camping, avec deux mâts. On installe les mâts

puis on tend un câble qui les joint. Mais si l'intérieur de la tente est en suppression, la toile ne va pas pendre au niveau du câble en formant un pli.

    Tension du câble : la surface acquiert un segment AB rectiligne. Mais si le vent souffle et que la tente est en légère surpression, le voisinage du segment pourra conserver, le long du segment, la continuité du plan tangent, témoin la vue de la tente, selon un autre angle.

    Si le vent cesse de souffler, les parois de la tente vont s'affaisser sous l'effet de leur poids. Dès que le mouvement s'amorce, la continuité du plan tangent est brisée. Le dièdre apparaît. Modification D.

    A quoi cela peut-il servir ?

    Avant de passer aux applications pratiques il faut définir une autre modification. Imaginez un cône : il a un point conique qui concentre la "courbure angulaire. Si le point cônique ne fait pas partie d'un "vrai" cône, dont le flanc est dépourvu de courbure, la surface est assimilable à un cône, à petite distance du point cônique. Ce qui revient à dire qu'en un point conique d'une surface il existe un "cône tangent".

    Mais revenons à notre cône. On peut sans difficulté faire voisiner deux points coniques. On peut même construire physiquement une telle surface, à partir de deux découpes pratiquées dans un plan :

    Les traits qui partent de A et B sont simplement des "coutures" ou des "collages". On peut les enlever :

    On peut faire confluer les points coniques, auquel cas ce "bicône" de muera en cône, dont le sommet contiendra une quantité de courbure angulaire égale à la somme des courbures concentrées dans les deux points côniques qu'on a fait confluer.

    On peut donc envisager une nouvelle modification "confluence de points coniques":

    Avec son inverse :

    Prenez maintenant une sphère et enfoncez dessus huit segments. Cela va créer huit dièdres et seize point côniques. On peut alors faire confluer les points côniques deux par deux et obtenir ... un cube.

    Nous savons donc maintenant transformer une sphère en cube, et vice versa. De même, ceci nous aidera à construire les représentations polyèdriques des surfaces. Ceci étant, "gonflons" notre cube, comme la toile de tente de toute à l'heure :

    Les arêtes ont disparu. On obtient un résultat auquel on serait arrivé en enfonçant huit "piquets" depuis l'intérieur d'une sphère, en y créant huit points coniques. Si un cadre intérieur maintenait l'écartement de ces huit pointes, mais que la pression interne soit suffisante, on pourrait faire en sorte que toute la courbure soit contenue dans ce huit points coniques, c'est à dire p/2 pour chaque (si vous fabriquez huit posicônes contenant chacun une courbure égale à p/2 vous pourrez les assembler en constituant ces objet. Bien qu'au contact la surface vous semble courbe, sa densité de courbure est partout nulle : toute la courbure est concentrée dans les huit points côniques). Au total, vous retrouverez la courbure totale de la sphère, soit 4p. Si à ce moment-là on augmente ou on diminue la pression interne, notre cube va se déformer, ses parois contenant cette fois de la courbure, mais de telle façon que la somme reste toujours égale à la courbure totale de la sphère. L'image ci-après correspond à un "cube en état de dépression".

    Les points coniques contiennent alors une courbure supérieure à p/2, mais l'apparition de courbure négative, ailleurs, compense cet excès.

    L'autre surface pourrait être obtenue en prenant une sphère, en disposant sur celle-ci huit points formant les huit sommets d'un cube "attachés à l'intérieur par un cadre rigide". En mettant une suppression à l'intérieur de cette sphère on ferait apparaître des point coniques, la surface se débrouillant, tout en conservant un champ de densité de courbure continu, pour que la somme des courbures, concentrées ou distribuée sur la surface, fasse toujours 4p.

    Plus haut, nous avions évoqué la modification "hérissement" H, qui amène l'angle au somme un point conique à zéro :

    Question : quelle est la quantité de courbure contrée en un "point de hérissement" ?

    Vous savez que plus un cône est fermé, pointu,   plus la quantité de courbure qu'il contient est importante. Elle se calcule en chiffrant l'amplitude angulaire du secteur enlevé quand on crée ce "posicône" (Voir "le Trou noir", dans le CD Lanturlu). Celle-ci ne peut pas être supérieure à 2p. Donc la quantité de courbure angulaire contenue dans un "point de Hérissement" est 2p.

    Autre façon de l'évaluer : placez un segment dans une sphère et dilatez-le.

    La quantité de courbure contenue par chacun des points côniques va tendre vers 2p, tandis que celle qui subsiste dans cette sphère de piteuse allure tendra vers zéro, de manière que la courbure totale reste égale à 4p.

    A quoi pourront nous servir ces points de hérissement, sinon à transformer une sphère en oursin ?

    Créons deux points de hérissement sur une sphère, dirigés vers son centre:

    Juste avant le contact de deux points de hérissement, le reste de la surface de la sphère contient une courbure intégrée nulle, puisque ces points contiennent chacun 2p.

    Quand le contact est établi, on obtient un tore à "gorge nulle".

    Il faut alors envisager une nouvelle modification "d'élargissement de gorge" Eg avec sa transformation inverse : l'étranglement du passage de gorge Eg^-1.

    On peut encore jouer avec la transformation P (création de points côniques). Créons deux points coniques sur une sphère, préalablement transformée en saucisse de Francfort, puis amenons ces deux points en contact.

    On obtient cet objet étrange :

    Selon la définition "restrictive" des géodésiques au voisinage d'un point cônique, cette surface possède un ensemble non singulier de géodésiques.

    On peut enchaîner avec une nouvelle modification qui aurait pour effet d'ouvrir un passage tubulaire :

    Autre façon de transformer une sphère en tore. En fait, on peut tout explorer, dans cette jungle 2d. On peut envisager des modifications qui créent des trous, ou les referment. Les surfaces peuvent être pliées, poinçonnées, déchirées, repassées, recousues, chiffonées, gonflées, rétrécies, peintes. Mais seul le monde des mathématiques leur permet de s'auto-traverser (immersions). Cependant il est dit que les morts, le jour du Jugement Dernier, devraient ressuciter sous forme de "corps glorieux", lesquels auraient alors la possibilité de traverser n'importe quoi, y compris d'autres "corps" glorieux, croisés en chemin. Plus besoin de changer de trottoir quand on se croise : il suffirait alors de se passer au travers. L'étude des immersions préfigure alors peut-être celle de la métaphysique. De toute manière, dans un prochain article, nous vous raconterons la saga des retournements de la sphère et du tore